Das im ersten Theorieteil eingeführte Quadratursampling soll nun vor dem Hintergrund der Komplexen Zahlen vertieft werden.

Hintergrund war die Frage, warum bei einem SDR eigentlich der doppelte Frequenzbereich zur Auswahl zur Verfügung steht, bzw. angezeigt wird. Bei A/D Wandlungen können nur Frequenzen bis zur halben Abtastfrequenz ohne Verzerrungen übertragen werden. Man würde bei einer Abtastung der Soundkarte mit 48 kHz somit beispielsweise ein Spektrum von 24 kHz erwarten. Tatsächlich stehen aber 48 kHz zur Verfügung.

Mit Hilfe des bisherigen Wissens und der Darstellung durch Komplexe Zahlen kann die Frage nun graphisch und mathematisch beantwortet werden.

Bild 26 zeigt die erweiterten Zusammenhänge.

Bild 26: Quadratursampling Komplexer-Spektralbereich 

Gegeben sei wiederum ein Antennenspektrum das in einem Ausschnitt von plus/minus 24 kHz um die Mittenfrequenz 6 MHz betrachtet wird. Die Spektren können dabei eine beliebige Zusammensetzung haben, z. B. eine Mischung aus AM, USB, LSB, CW.

Dieses Signal wird nun auf einen Quadraturmischer nach Bild 7 gegeben. Die Mischfrequenz ist 6 MHz. Der Obere und der untere Zweig werden zunächst getrennt betrachtet.

Im oberen Zweig entstehen 4 Mischprodukte. Die zwei Mischprodukte um die doppelte Mischfrequenz sollen hier zunächst nicht betrachtet werden und können fiktiv mit einem Tiefpassfilter ausgefiltert werden.

Da die Betrachtung im Komplexen Zahlenraum stattfindet, entstehen auch negative Frequenzanteile. Mit der Wahl einer anderen Mischfrequenz mit Mischung auf eine höhere Zwischenfrequenz wären alle Spektren im positiven Frequenzbereich. Die Zusammenhänge blieben gleich. Hier wird jedoch das übliche SDR-Konzept mit Mischung auf das Basisband betrachtet.

Um die Basisfrequenz entsteht ein Mischprodukt, welches in der Lage dem Antennenspektrum entspricht. Ein zweites Mischprodukt entspricht ebenfalls dem Antennenspektrum, ist jedoch spiegelverkehrt und überlagert sich dem ersten Spektrum.

Die wichtige Erkenntnis ist, dass beide Frequenzanteile jeweils in einem 24 KHz breiten Bereich um die Nullfrequenz gegeben sind. Dies entspricht der klassischen Spiegelfrequenzbetrachtung. Ein Nutzsignal oberhalb der Oszillatorfrequenz wird mit dem Spiegelfrequenzsignal unterhalb der Oszillatorfrequenz überlagert. Bei einem Nutzsignal unterhalb der Oszillatorfrequenz ist das Spiegelsignal oberhalb der Oszillatorfrequenz. Die Betrachtung von Nutz- und Spiegelfrequenzsignal ist relativ. Es werden immer beide Signale in einen Bereich abgebildet.

Die zweite Erkenntnis ist, dass ein A/D-Wandler nach Bild 7 für den Zweig nur ein 24 kHz breites, Reales Spektrum abdecken muss, welches aber aus einem in sich überlagerten 48 kHz breiten Spektrum besteht.

Für den unteren Zweig ist der Mischvorgang entsprechend, nur das die gespiegelten Frequenzbereiche negativ auf der Imaginären Achse abgebildet werden. Da mit Minus-Sinus gemischt wird, folgt anschließend noch eine Spiegelung an der x-Achse. Zu beachten ist, dass beide Frequenzbereiche auf der Imaginären Achse liegen.

Auch hier wird der zweite A/D-Wandler lediglich mit einem 24 kHz Signal gespeist.

Es entstehen somit für die zu verarbeitende SW I(n) und Q(n) Datensequenzen, die jeweils das gesamte 48 kHz Spektrum, aber überlagert, enthalten.

In der SW wird Q(n) nun als Imaginärteil interpretiert. Bei der FFT und der anschließenden Abbildung im Frequenzspektrum bedeutet dies ganz konkret eine Multiplikation mit dem Faktor j (komplexes Eingangssignal (a+jb)).

Der Faktor j bedeutet eine Drehung der Phase um 90 Grad. Aus den Imaginären Anteilen des unteren Zweiges werden Reale (negative) Anteile. Die Wahl des falschen Vorzeichens stellt dabei eine gängige Fehlerquelle dar. Das Zeigerdiagramm nach Bild 22 hilft die mathematische positive Drehung gegen den Uhrzeigersinn (j) richtig zuzuordnen.

Nach der FFT Transformation liegen demnach zwei Reale Anteile vor, die sich als Teil des FFT Algorithmus überlagern (Addition). Hier liegt keine Hilbert-Transformation vor. Es wird lediglich ein Komplexes Zeitsignal auf ein Komplexes Frequenzspektrum abgebildet.

Die jeweiligen Spiegelfrequenzanteile neutralisieren sich, es entsteht ein 48 kHz breites Frequenzspektrum um die Nullfrequenz, welches angezeigt und/oder verarbeitet werden kann.

Ein ggf. vorliegender Imaginärteil ist entsprechend zu betrachten.

Für die Berechnung der Herleitung gibt es zwei Möglichkeiten.

Einerseits kann man exemplarische Kosinus-Antennensignale und Kosinus/Minus-Sinus Oszillatorsignale durch die Komplexen Exponentialanteile ausdrücken, ausmultiplizieren, mit j multiplizieren und nach Addition zeigen sich die verbleibenden Frequenzanteile in der Komplexen Darstellung.

Andererseits geht es auch in der Kurzform, denn es wird ein Eingangssignal mit einem Komplexen Oszillatorsignal multipliziert. Euler hat hier die Zusammenhänge aufgezeigt:

Demnach werden beide Frequenzanteile der Eingangsfunktion in eine Richtung verschoben, ohne weitere Mischprodukte zu bilden! Das Antenneneingangsspektrum kann man sich als eine Vielzahl dieser exemplarisch gewählten Kosinusfunktion (oder/und Sinusfunktion) vorstellen. So wird klar, dass das gesamte Spektrum auf der Frequenzachse lediglich verschoben wird.

Da mit Kosinus ein Reales Eingangssignal angesetzt wurde, entsteht auch nur ein Reales Ausgangssignal. Liegt parallel ein Imaginäres Eingangssignal in Form eines phasenverschobenen Sinus-Signals an, so entsteht ebenso ein Imaginäres Ausgangssignal.

Wie innerhalb dieses Frequenzspektrums gelegene, modulierte Signale verarbeitet werden soll Gegenstand der folgenden Kapitel sein.

Nochmals zur Klarstellung. Angezeigt wird ein Spektrum nach der FFT-Transformation, bei dem die Spiegelfrequenzen neutralisiert wurden. Dies könnte jetzt auch so im Frequenzbereich weiter bearbeitet und anschließend in den Zeitbereich zurück transformiert werden. Dieses Basisbandspektrum ist nicht achsensymetrisch, kann daher im positiven und negativen Frequenzbereich unterschiedliche Sende- und Modulationssignale enthalten.

Im Zeitbereich haben wir aber nach wie vor die ursprünglichen I(n) und Q(n) Sequenzen, die Spektren entsprechen, welche mit Spiegelfrequenzen überlagert sind. Erst ein Demodulationsverfahren, welches die beiden Komponenten verknüpft führt zur Neutralisierung der Spiegelfrequenzanteile.